17672. Точки O
и M
— соответственно центр описанной окружности и точка пересечения медиан треугольника ABC
, причём OM\perp AM
. Луч AM
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке A'
, прямые BA'
и AC
пересекаются в точке D
, а прямые CA'
и AB
— в точке E
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ADE
лежит на описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть F
, G
и H
— середины сторон BC
, CA
и AB
соответственно.
Высота OM
равнобедренного треугольника AOA'
является его медианой, поэтому A'M=AM
, поэтому
MF=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}A'M=A'F.
В то же время, BF=FC
, поэтому A'BMC
— параллелограмм. Тогда DB\parallel CM
, и треугольник ADA'
подобен треугольнику ACM
, а так как AA'=2AM
, то коэффициент подобия равен 2. Аналогично, треугольник AEA'
подобен треугольнику ABM
с коэффициентом 2. Тогда при гомотетии с центром A
и коэффициентом 2 треугольник ABC
переходит в треугольник AED
, а центр O
описанной окружности треугольника ABC
— в центр описанной окружности треугольника AED
, который совпадает с точкой пересечения луча AO
с описанной окружностью треугольника ABC
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2006, финальный этап, задача 9, 11 класс