17675. Точки E
и F
лежат на сторонах соответственно BC
и CD
квадрата ABCD
. Прямая, проведённая через точку F
перпендикулярно AE
, проходит через точку G
пересечения прямой AE
и диагонали BD
. Точка K
лежит на отрезке FG
, причём AK=EF
. Найдите угол EKF
.
Ответ. 135^{\circ}
.
Решение. Из точек D
и G
отрезок AF
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AF
. Тогда
\angle GAF=\angle GDF=45^{\circ}~\mbox{и}~\angle GFA=\angle GDA=45^{\circ},
поэтому треугольник AGF
равнобедренный, GA=GF
.
Прямоугольные треугольники AGK
и FGE
равны по катету и гипотенузе, поэтому GK=GE
. Тогда прямоугольный треугольник KGE
тоже равнобедренный. Значит, \angle GKE=45^{\circ}
. Следовательно,
\angle EKF=180^{\circ}-\angle GKE=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2007, отбор на Международную математическую олимпиаду, второй день, задача 4