17676. В параллелограмме ABCD
расположены две касающиеся внешним образом окружности: одна из них вписана в угол BAC
, вторая — в угол BCD
. Докажите, что точка K
касания окружностей лежит на диагонали AC
параллелограмма.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, вписанных в углы BAD
и BCD
соответственно. Рассмотрим гомотетию с центром K
, переводящую окружность с центром O_{1}
в окружность с центром O_{2}
. При этой гомотетии касательные AB
и AD
к первой окружности переходят в касательные CD
и CB
ко второй, а тогда точка A
переходит в точку C
. Следовательно, точки A
, K
и C
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2007, задача 12