17679. Существует ли выпуклый шестиугольник ABCD
, у которого описанные окружности треугольников ABC
, CDE
и EFA
пересекаются в точке, лежащей внутри него?
Ответ. Нет.
Решение. Предположим, что такой шестиугольник существует. Пусть O
— общая точка трёх окружностей из условия. Тогда четырёхугольники ABCO
, CDEO
и EFAO
вписанные, поэтому
\angle BAO+\angle BCO=180^{\circ},~\angle DCO+\angle DEO=180^{\circ},~\angle FEO+\angle FAO=180^{\circ}.
Сложив эти три неравенства, получим
\angle BCD+\angle DEF+\angle FAB=3\cdot180^{\circ}.
С другой стороны, каждый угол выпуклого шестиугольника меньше 180^{\circ}
, поэтому сумма трёх его углов не может быть равной 3\cdot180^{\circ}
. Противоречие.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2007, задача 10, 11 класс