1768. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне и проведённой к ней высоте, если известно, что эта сторона видна из центра вписанной в треугольник окружности под углом 135^{\circ}
.
Указание. Если O
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
и \angle AOB=135^{\circ}
, то \angle ACB=90^{\circ}
.
Решение. Предположим, что искомый треугольник ABC
построен. Пусть AB
— данная сторона, CH
— данная высота, O
— центр вписанной окружности, \angle AOB=135^{\circ}
.
Поскольку \angle AOB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACB
(см. задачу 4770), то
\angle ACB=2\angle AOB-180^{\circ}=270^{\circ}-180^{\circ}=90^{\circ}.
Значит, треугольник ABC
прямоугольный.
Поскольку отрезок AB
виден из точки C
под прямым углом, то точка C
лежит на окружности с диаметром AB
на расстоянии, равном CH
, от прямой AB
.
Отсюда вытекает следующее построение. На отрезке AB
, равном данной стороне, строим как на диаметре окружность. Проводим прямую l
, параллельную AB
, удалённую от прямой AB
на расстояние, равной данной высоте. Если прямая l
пересекает построенную окружность, то каждая точка пересечения — вершина C
искомого треугольника.
Если данная высота больше половины данной стороны, задача не имеет решений.