17681. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AK
и BL
. Докажите, что если BK=KL
, то треугольник ABC
равнобедренный.
Решение. Обозначим \angle KBL=\angle KLB=\theta
. Тогда
\angle KLC=90^{\circ}-\theta,~\angle KCL=\angle BCL=90^{\circ}-\theta,
поэтому \angle KLC=\angle KCL
. Тогда KC=KL=BK
. Таким образом высота, AK
треугольника ABC
является его медианой. Следовательно, этот треугольник равнобедренный.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2008, задача 1, до 9 класса