17682. Точки F
и E
лежат на сторонах соответственно AC
и BC
треугольника ABC
, причём 2CF=FA
и 2CE=BE
. Вне треугольника ABC
на лучах AE
и BF
лежат точки K
и L
соответственно, причём 2KE=EA
и 2LF=FB
. Докажите, что ABKL
— параллелограмм.
Решение. Заметим, что треугольник ABF
подобен треугольнику CLF
с коэффициентом 2, а треугольник ABE
— треугольнику KCE
с тем же коэффициентом. Тогда
\angle CLF=\angle ABF~\mbox{и}~\angle CKE=\angle BAE~\Rightarrow~CL\parallel AB~\mbox{и}~KC\parallel AB.
Значит, точки L
, C
и K
лежат на одной прямой.
Кроме того
KL=KC+CL=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AB=AB.
Противоположные стороны KL
и AB
четырёхугольника ABKL
равны и параллельны. Следовательно, ABKL
— параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2008, задача 1, до 9 класс