17684. Точки A'
, B'
, C'
лежат на сторонах соответственно BC
, CA
, AB
, причём \frac{BA'}{A'C}=\frac{CB'}{B'A}=\frac{AC'}{C'B}
. Прямая, проходящая через точку A'
параллельно B'C'
, пересекает прямые AC
и AB
в точках P
и Q
соответственно. Докажите, что \frac{PQ}{B'C'}\geqslant2
.
Решение. Обозначим \frac{BA'}{A'C}=\frac{CB'}{B'A}=\frac{AC'}{C'B}=k
. Заметим, что если k=1
, то B'C'
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому B'C'\parallel BC
. Тогда отрезки PQ
и BC
совпадают, следовательно \frac{PQ}{B'C'}=\frac{BC}{B'C'}=2
.
Пусть k\ne1
. Отметим на стороне AC
точку B''
, для которой \frac{AB''}{B''C}=k
(т. е. B''
— точка, симметричная B'
относительно серединного перпендикуляра к стороне AC
). Тогда \frac{CB''}{B''A}=\frac{BC'}{C'A}
, поэтому B''C'\parallel BC
и A'B''\parallel AB
. Значит, BC'B''A'
— параллелограмм. Кроме того, треугольники PA'C
и B'C'B''
подобны (эти треугольники существуют, так как k\ne1
). Следовательно,
\frac{A'P}{B'C'}=\frac{A'C}{C'B''}=\frac{A'C}{BA'}=\frac{1}{k}.
Отметим на стороне AB
точку C''
, для которой \frac{BC''}{C''A}=k
. Рассуждая аналогично, получим
\frac{A'Q}{B'C'}=\frac{A'B}{C'A}=k.
Следовательно,
\frac{PQ}{B'C'}=\frac{A'P+A'Q}{B'C'}=\frac{A'P}{B'C'}+\frac{A'Q}{B'C'}=\frac{1}{k}+k\geqslant2\sqrt{\frac{1}{k}\cdot k}=2.
Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2008, отбор на Международную олимпиаду, второй день задача 4