17685. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором AD=BD=CD
и \angle ADB=\angle DCA
, \angle CBD=\angle BAC
. Найдите углы четырёхугольника.
Ответ. 75^{\circ}
, 120^{\circ}
, 45^{\circ}
, 120^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle ADB=\angle DCA=\alpha
и \angle CBD=\angle BAC=\beta
.
Из равнобедренных треугольников DAC
, DAB
и BDC
получаем
\angle DAC=\angle DCA=\alpha,~\angle DBA=\angle DAB=\alpha+\beta,
\angle DCB=\angle DBC=\beta~\Rightarrow~\angle BCA=\beta-\alpha.
Из треугольников ABC
и ADB
получаем
180^{\circ}=\beta+(\beta-\alpha)+(\alpha+2\beta)=4\beta~\Rightarrow~\beta=45^{\circ},
180^{\circ}=\alpha+(\alpha+\beta)+(\alpha+\beta)=3\alpha+2\beta=3\alpha+90^{\circ}~\Rightarrow~\alpha=30^{\circ}.
Следовательно,
\angle DAB=\alpha+\beta=75^{\circ},~\angle ABC=\alpha+2\beta=120^{\circ},~BCD=\beta=45^{\circ},
\angle CDA=360^{\circ}-75^{\circ}-120^{\circ}-45^{\circ}=120^{\circ}.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2009, задача 2, до 10 класса