17688. Докажите, что \varphi
(0\lt\varphi\lt90^{\circ}
) — величина острого угла данного прямоугольного треугольника с катетами a
и b
тогда и только тогда когда
(a\cos\varphi+b\sin\varphi)(a\sin\varphi+b\cos\varphi)=2ab.
Решение. Заметим, что
(a\cos\varphi+b\sin\varphi)(a\sin\varphi+b\cos\varphi)=2ab~\Leftrightarrow~2(a^{2}+b^{2})\sin\varphi\cos\varphi=2ab~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(a^{2}+b^{2})\sin2\varphi=2ab.
Если углы данного треугольника, противолежащие катетам a
и b
равны \alpha
и \beta
соответственно, то
\sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},~\sin\beta=\cos\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},
поэтому
(a^{2}+b^{2})\sin\alpha\cos\alpha=(a^{2}+b^{2})\cdot\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\cdot\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=ab.
Таким образом, утверждение равенство из задачи равносильно равенству \sin2\varphi=\sin2\alpha
, а так как 0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}
и 0^{\circ}\lt\beta\lt90^{\circ}
, то 2\varphi=2\alpha
или 2\varphi=180^{\circ}-2\alpha
, т. е.
\varphi=\alpha~\mbox{или}~\varphi=90^{\circ}-\alpha=\beta.
Следовательно, \varphi
удовлетворяет равенству из условия задачи тогда и только тогда, когда \varphi
— величина одного из острых углов данного прямоугольного треугольника.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2009, задача 13, 10-12 классы