1769. Даны точки A
и B
. С центром в точке B
проводятся окружности радиусом, не превосходящим AB
, а через точку A
— касательные к ним. Найдите геометрическое место точек касания.
Ответ. Окружность с диаметром AB
(без точки B
).
Решение. Рассмотрим произвольную окружность с центром B
и радиусом, меньшим AB
. Пусть прямая, проходящая через точку A
, касается этой окружности в точке M
. Поскольку касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то отрезок AB
виден из точки M
под прямым углом. Значит, точка M
лежит на окружности с диаметром AB
.
Обратно, рассмотрим произвольную точку M
, лежащую на окружности с диаметром AB
и отличную от точек A
и B
. Тогда \angle AMB=90^{\circ}
, значит, прямая AM
имеет общую точку M
с окружностью радиуса BM
с центром B
и перпендикулярна радиусу BM
, проведённому в эту точку. Следовательно, M
— точка касания прямой, проходящей через точку A
и касающейся некоторой окружности с центром B
.
Прямая, проходящая через точку A
перпендикулярно AB
, касается окружности с центром B
и радиусом AB
.
