17690. Стороны четырёхугольника равны a
, b
, c
и d
, а площадь равна S
. Докажите, что
a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geqslant4S.
Решение. Без ограничения общности считаем, что a
, b
, c
и d
— последовательные стороны четырёхугольника. Пусть четырёхугольник выпуклый. Тогда
\frac{ab}{2}+\frac{cd}{2}\geqslant S~\Rightarrow~ab+cd\geqslant2S,~\frac{bc}{2}+\frac{da}{2}\geqslant S\Rightarrow~bc+da\geqslant2S,
значит,
ab+bc+cd+da\geqslant4S.
С другой стороны, складывая неравенства
a^{2}+b^{2}\geqslant2ab,~b^{2}+c^{2}\geqslant2bc,~c^{2}+d^{2}\geqslant2cd,~d^{2}+a^{2}\geqslant2da,
получим
2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})\geqslant2(ab+bc+cd+2da)~\Rightarrow
\Rightarrow~a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geqslant ab+bc+cd+da\geqslant4S.
Отсюда следует утверждение задачи.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда все стороны четырёхугольника равны и все углы прямые, т. е. тогда и только тогда, когда четырёхугольник — квадрат.
Если четырёхугольник невыпуклый, то можно «плохую» вершину отобразить относительно диагонали, не лежащую внутри четырёхугольника. При этом стороны полученного четырёхугольника не изменятся, а площадь не уменьшится (см. задачу 3514).
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2009, задача 13, 12 класс