17692. В остроугольном треугольнике ABC
угол C
больше угла A
, отрезок AE
— диаметр описанной окружности треугольника ABC
. Луч AC
и касательная к описанной окружности в точке B
пересекаются в точке K
. Прямая, проведённая через точку K
перпендикулярно AE
, вторично пересекает описанную окружность треугольника BCK
в точке D
. Докажите, что CE
— биссектриса угла BCD
.
Решение. Поскольку \angle ACE=\angle ECK=90^{\circ}
, достаточно доказать, что \angle ACB=\angle DCK
.
Пусть прямые AE
и DK
пересекаются в точке L
. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой
\angle BAC=\angle CBK=\angle CDK.
Кроме того,
\angle ABC=\angle AEC=\angle CKD
(последнее равенство следует из подобия прямоугольных треугольников ACE
и ALK
). Следовательно, треугольники ABC
и DKC
.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2009, отбор на Международную олимпиаду, второй день, задача 4