17693. Дан параллелограмм ABCD
.
а) Докажите, что если центр вписанной окружности треугольника ABC
лежит на диагонали BD
, то ABCD
— ромб.
б) Пусть ABCD
— ромб. Верно ли, что центр описанной окружности треугольника ABC
лежит на диагонали BD
?
Ответ. б) Нет.
Решение. а) Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, и I
лежит на диагонали BD
параллелограмма ABCD
. Тогда BD
— биссектриса угла CBD
. Значит,
\angle CBD=\angle ABD=\angle CDB,
поэтому треугольник BCD
равнобедренный, BC=CD
. Следовательно, ABCD
— ромб.
б) Пусть ABCD
— прямоугольник, причём AB\ne BC
. Тогда центр описанной окружности треугольника ABC
— точка пересечения диагоналей. Следовательно, ABCD
не может быть ромбом.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2010, задача 2