17694. Около треугольника ABC
описана окружность. Точка D
лежит на дуге AB
, не содержащей точки C
, а A_{1}
и B_{1}
— основания перпендикуляров, опущенных из точки C
на прямые AD
и BC
соответственно. Докажите, что AB\geqslant A_{1}B_{1}
.
Решение. Если CD
— диаметр окружности, то точка A_{1}
совпадает с A
, а точка B_{1}
— с B
, поэтому A_{1}B_{1}=AB
.
Пусть теперь CD
— не диаметр. Заметим, что точка A_{1}
лежит на луче AD
тогда и только тогда, когда точка B_{1}
не лежит на луче BD
. Рассмотрим случай, когда точка A_{1}
лежит на луче AD
. Четырёхугольник ADBC
вписанный, поэтому
\angle CAA_{1}=180^{\circ}-\angle CBD=\angle CBB_{1}.
Значит, прямоугольные треугольники AA_{1}C
и CB_{1}B
подобны. Тогда \frac{AC}{BC}=\frac{A_{1}C}{B_{1}C}
, а так как
\angle A_{1}CB_{1}=\angle A_{1}CB+\angle BCB_{1}=\angle A_{1}CB+\angle ACA_{1}=\angle ACB,
то треугольники A_{1}CB_{1}
и ACB
подобны, причём коэффициент подобия меньше 1, так как A_{1}C\lt AC
. Следовательно, A_{1}B_{1}\lt AB
.
Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2010, задача 2, 11-13 классы