17695. Для треугольника ABC
со сторонами BC=a
, CA=b
и AB=c
докажите, что равенство
\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}
верно тогда и только тогда, когда \angle ABC=60^{\circ}
.
Решение. Заметим, что
\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}~\Leftrightarrow~(a+2b+c)(a+b+c)=3(a+b)(b+c)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~b^{2}=a^{2}+c^{2}-ac~\Leftrightarrow~b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot\frac{1}{2}~\Leftrightarrow~b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot\cos\angle ABC.
Следовательно, равенство из условия задачи выполняется тогда и только тогда, когда \angle ABC=\frac{1}{2}
, т. е. тогда и только тогда, когда \angle ABC=60^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2010, задача 11, 11-13 классы