17696. В треугольнике ABC
проведена медиана CM
. Докажите, что произведение радиуса описанной окружности треугольника ACM
на высоту, проведённую из его вершины M
, равно произведению радиуса описанной окружности треугольника BCM
на высоту, проведённую из его вершины M
.
Решение. Обозначим \angle CAB=\alpha
, \angle CBA=\beta
. Пусть MU
и MV
— высоты треугольников ACM
и BCM
, r
и s
— радиусы описанных окружностей соответственно
По теореме синусов
r=\frac{CM}{2\sin\alpha},~s=\frac{CM}{2\sin\beta}.
Из прямоугольных треугольников AUM
и BVM
получаем
MU=AM\sin\alpha,~MU=BM\sin\beta.
Следовательно,
r\cdot MU=\frac{CM}{2\sin\alpha}\cdot AM\sin\alpha=\frac{CM\cdot AM}{2},~s\cdot MV=\frac{CM}{2\sin\beta}\cdot BM\sin\alpha=\frac{CM\cdot BM}{2},
а так как BM=AM
, то r\cdot MU=s\cdot MV
. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2010, задача 10, 11 класс