17698. Две окружности расположены одна вне другой, а их общие внутренние касательные пересекаются в точке A
. Пусть K
— проекция точки A
на общую внешнюю касательную. Через точку K
проведены прямые, отличные от общей внешней касательной, касающиеся окружностей в точках M_{1}
и M_{2}
соответственно. Докажите, что KA
— биссектриса угла M_{1}KM_{2}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей, общая внешняя касательная касается окружностей в точках L_{1}
и L_{2}
соответственно, а общая внутренняя касательная — в точках N_{1}
и N_{2}
соответственно.
Прямые O_{1}L_{1}
, AK
и O_{2}L_{2}
параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же прямой L_{1}L_{2}
. Значит, \frac{L_{1}K}{L_{2}K}=\frac{O_{1}A}{O_{2}A}
.
Прямоугольные треугольники O_{1}AN_{1}
и O_{2}AN_{2}
подобны, поэтому
\frac{O_{1}A}{O_{2}A}=\frac{O_{1}N_{1}}{O_{2}N_{2}}=\frac{O_{1}L_{1}}{O_{2}L_{2}}.
Значит, подобны прямоугольные треугольники O_{1}L_{1}K
и O_{2}L_{2}K
, поэтому \angle L_{1}KO_{1}=\angle L_{2}KO_{2}
.
Поскольку
\angle L_{1}KM_{1}=2\angle L_{1}KO_{1}~\mbox{и}~\angle L_{2}KM_{2}=2\angle L_{2}KO_{2},
то \angle L_{1}KM_{1}=2\angle L_{2}KO_{2}
. Тогда, учитывая, что
\angle L_{1}KA=\angle L_{2}KA=90^{\circ},
получим \angle M_{1}KA=\angle M_{2}KA
. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2010, первый день, задача 1