17699. В треугольнике ABC
проведена медиана AK
. Точка O
— центр описанной окружности треугольника ABK
.
а) Докажите, что если точка O
лежит на средней линии треугольника ABC
, но не совпадает с её концами, то треугольник ABC
прямоугольный.
б) Верно ли это утверждение, если O
совпадает с серединой стороны треугольника ABC
?
Ответ. б) Нет.
Решение. Пусть L
и M
— середины сторон CA
и AB
треугольника ABC
. Если точка O
лежит на отрезке KM
, то серединный перпендикуляр к стороне AB
и прямая MK
имеют две различные общие точки O
и M
. Значит, прямая OM
— серединный перпендикуляр к отрезку AB
, а так как AC\parallel MK
, то AC\perp AB
. Следовательно, угол A
треугольника ABC
прямой.
Если точка O
лежит на отрезке, то аналогично получим, что угол B
треугольника ABC
прямой.
Если точка O
лежит на отрезке KL
, то, с одной стороны, угол ABC
острый, так как OK
и MB
перпендикулярны прямой MO
— серединному перпендикуляру к отрезку AB
, причём OK\lt LK=BM
. С другой стороны, угол ABK
тупой, так как центр O
описанной окружности треугольника ABK
лежит вне этого треугольника. Противоречие. Следовательно, этот случай невозможен.
б) Пусть ABC
— равносторонний треугольник. Его медиана AK
является высотой, поэтому ABK
— прямоугольный треугольник с гипотенузой AB
. Центр его описанной окружности — середина отрезка AB
, т. е. конец средней линии равностороннего треугольника ABC
. Этот пример показывает, что утверждение неверно.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2011, задача 9, 11-12 классы