17700. Дан равнобедренный треугольник ABC
, в котором AB=AC
. Биссектриса угла ABC
пересекает сторону AC
в точке D
.
а) Верно ли, что треугольник ABD
равнобедренный, если треугольник BCD
равнобедренный?
б) Верно ли, что треугольник BCD
равнобедренный, если треугольник ABD
равнобедренный?
Ответ. а) Да; б) нет.
Решение. а) Обозначим \angle BAC=\alpha
и \angle ACB=\angle ABC=\beta
. Пусть треугольник BCD
равнобедренный.
Если CB=CD
, то углы CBD
, CDB
и BCD
равны \frac{\beta}{2}
, \frac{\beta}{2}
и \beta
соответственно, поэтому
2\cdot\frac{\beta}{2}+\beta=180^{\circ}~\Rightarrow~\beta=90^{\circ},
что невозможно, так как у треугольника ABC
было бы два прямых угла.
Если DB=DC
, то \frac{\beta}{2}=\beta
, что тоже невозможно.
Осталось рассмотреть случай, когда BC=BD
. Тогда равнобедренные треугольники ABC
и CBD
подобны, так как угол \beta
при основании BC
первого треугольника равен углу при основании CD
второго. Таким образом,
\angle DBA=\angle DBC=\angle BAC=\angle BAD.
Следовательно, треугольник ABD
равнобедренный с основанием AB
. Утверждение а) верно.
б) Пусть углы треугольника ABC
равны \frac{3}{7}\cdot180^{\circ}
, \frac{2}{7}\cdot180^{\circ}
и \frac{2}{7}\cdot180^{\circ}
. Тогда
\angle ADB=180^{\circ}-\angle BAD-\angle ABD=180^{\circ}-\frac{3}{7}\cdot180^{\circ}-\frac{1}{7}\cdot180^{\circ}=\frac{3}{7}\cdot180^{\circ}.
Значит, треугольник ABD
равнобедренный с основанием AD
. В то же время, углы треугольника BCD
равны \frac{1}{7}\cdot180^{\circ}
, \frac{2}{7}\cdot180^{\circ}
и \frac{4}{7}\cdot180^{\circ}
. Следовательно, этот треугольник не равнобедренный. Утверждение б) неверно.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2011, задача 2, 9 класс