17701. Биссектриса угла A
и медиана BM
треугольника ABC
пересекаются в точке P
. Прямые AB
и MP
пересекаются в точке K
. Докажите, что если \frac{PC}{PB}=2
, то прямые AP
и CK
перпендикулярны.
Решение. На продолжении стороны AB
за точку B
отложим отрезок BK'=AB
. Пусть прямые CK'
и AP
пересекаются в точке N
. Поскольку CP
и K'M
— медианы треугольника ACK'
, точка их пересечения делит медиану CB
в отношении 2:1
, считая от вершины C
, а значит, совпадает с точкой P
. Тогда точка K'
совпадает с K
, а точки B
и N
— середины AK
и CK
соответственно.
Поскольку биссектриса AN
треугольника ACK
является его медианой, то треугольник ACK
равнобедренный, AK=CK
, а AN
— высота треугольника ACK
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2011, задача 7, 10 класс