17702. Точки P
и Q
лежат на боковых сторонах соответственно AB
и AC
равнобедренного треугольника ABC
. Докажите, что описанная окружность треугольника APQ
проходит через центр описанной окружности треугольника ABC
тогда и только тогда, когда AP=CQ
.
Решение. Без ограничения общности будем считать, что AP\leqslant AQ
.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, а O'
— точка пересечения биссектрисы угла BAC
с описанной окружностью треугольника PAQ
. Тогда O'B=O'C
, так как точка O'
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB
. Кроме того, по свойству вписанного четырёхугольника
\angle APO'=180^{\circ}-\angle AQO'=\angle CQO'~\mbox{и}~O'P=O'Q.
Таким образом
AP=CQ~\Leftrightarrow~\triangle APO'=\triangle CQO'~\Leftrightarrow~O'A=O'C.
Последнее равенство означает, что точка O'
совпадает с O
. Отсюда следует утверждение задачи
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2011, отбор на Международную олимпиаду, второй день, задача 4