17703. Внутри окружности \Omega
с центром O
расположены окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
, проходящие через точку O
и касающиеся окружности \Omega
в точках A
и B
соответственно. Докажите, что окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
имеют общую точку и эта точка лежит на отрезке AB
.
Решение. Если окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
касаются, то линия их центров проходит через точку касания O
, а радиусы этих окружностей перпендикулярны общим касательным к \Omega
, \omega_{1}
и \Omega
, \omega_{2}
, проведённым в точках A
и B
соответственно. Следовательно, точки A
, O
и B
лежат на одной прямой.
Пусть M
— отличная от O
общая точка окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
. Тогда точки O
, A
и центр окружности \omega_{1}
лежат на одной прямой, а так как точка M
лежит на окружности с диаметром OA
, то \angle AMO=90^{\circ}
. Аналогично, \angle BMO=90^{\circ}
. Следовательно, точки A
, M
и B
лежат на одной прямой.
Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2012, задача 3, до 11 класса