17704. Внутри окружности \Omega
расположены окружности \omega_{1}
, \omega_{2}
и \omega_{3}
, касающиеся окружности \Omega
в точках A
, B
и C
соответственно. Окружности \omega_{2}
и \omega_{3}
имеют общую точку K
на отрезке BC
, окружности \omega_{1}
и \omega_{3}
имеют общую точку L
на отрезке AC
, Окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
имеют общую точку M
на отрезке AB
. Докажите, что окружности \omega_{1}
, \omega_{2}
и \omega_{3}
проходят через центр окружности \Omega
Решение. Пусть X
точка на общей внешней касательной окружностей \Omega
и \omega_{1}
, с точкой C
по разные стороны от прямой AB
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle ALM=\angle XAM=\angle XAB=\angle ACB.
Значит, LM\parallel BC
. Аналогично, KM\parallel AC
и KL\parallel AB
.
Четырёхугольники KMAL
и KMLC
параллелограммы, поэтому AL=KM=LC
, т. е. L
— середина стороны AC
треугольника ABC
. Аналогично, K
и M
— середины сторон BC
и AB
соответственно. Значит, треугольники AML
, MBK
и LKC
подобны треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{1}{2}
, поэтому диаметр окружностей \omega_{1}
, \omega_{2}
и \omega_{3}
, описанных около этих треугольников, равен радиусу окружности \Omega
, описанной около треугольника ABC
. Следовательно, окружности \omega_{1}
, \omega_{2}
и \omega_{3}
проходят через центр O
окружности \Omega
. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2012, задача 3