17707. Диагонали AC
и BD
трапеции ABCD
с основаниями AB
и CD
пересекаются в точке P
. Докажите, что если \frac{PA}{PD}=\frac{PB}{PC}
, то трапеция равнобедренная.
Решение. Из условия следует, что \frac{PA}{PB}=\frac{PD}{PC}
, а из параллельности AB
и CD
— подобие треугольников APB
и CPD
, поэтому \frac{PA}{PB}=\frac{PC}{PD}
. Значит,
\frac{PD}{PC}=\frac{PC}{PD}~\Rightarrow~PD^{2}=PC^{2}~\Rightarrow~PD=PC.
Поскольку \frac{PA}{PD}=\frac{PB}{PC}
и \angle APD=\angle BPC
, треугольники APD
и BPC
подобны, поэтому
\frac{AD}{BC}=\frac{PD}{PC}=1~\Rightarrow~AD=BC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2012, задача 4, 10 класс