17708. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором \angle DAB+\angle ABC\lt180^{\circ}
. Точка E
, отличная от вершин четырёхугольника, лежит на стороне AB
, причём описанные окружности треугольников AED
и BEC
пересекаются внутри четырёхугольника ABCD
в точке F
. Точка G
лежит вне четырёхугольника, причём \angle DCG=\angle DAB
и \angle CDG=\angle ABC
. Докажите, что точки E
, F
и G
лежат на одной прямой.
Решение. Обозначим \angle DAB=\alpha
и \angle ABC=\beta
. Четырёхугольники CGDF
и AEFD
, BEFC
вписанные, поэтому
\angle CFG=\angle CDG=\beta~\mbox{и}~\angle DFG=\angle DCG=\alpha~\Rightarrow~\angle CFD=\alpha+\beta.
Значит,
\angle DFG=\angle DCG=\alpha=180^{\circ}-\angle DFE.
Следовательно, точки E
, F
и G
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2012, задача 9, 11 класс