17711. Дан треугольник ABC
. Прямая AC
касается окружности \omega_{A}
в точке C
и окружность \omega_{A}
проходит через точку B
. Прямая BC
касается окружности \omega_{B}
в точке C
и окружность \omega_{A}
проходит через точку B
. Окружности \omega_{A}
и \omega_{B}
вторично пересекаются в точке S
— центре вписанной окружности треугольника ABC
. Докажите, что треугольник ABC
равносторонний.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle BCS=\angle CAS
и \angle ACS=\angle CBS
, а так как S
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, то
\angle CAB=2\angle CAS=2\angle BCS=\angle BCA
и
\angle CBA=2\angle CBS=2\angle ACS=\angle BCA.
Значит,
\angle CAB=\angle BCA=\angle CBA.
Следовательно, треугольник ABC
равносторонний.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2013, задача 13, 10-12 классы