17713. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высота BB'
и биссектриса CC'
, пересекающиеся в точке D
. Точка E
симметрична D
относительно прямой AC
. Точки A
, B
, C
и E
лежат на одной окружности. Докажите, что треугольник ABC
равнобедренный.
Решение. Вписанные углы ABE
и ACE
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle ACC'=\angle ACD=\angle ACE=\angle ABE=\angle ABB'.
Значит, треугольники ABB'
и ACC'
с общим углом при вершине B
подобны. Тогда
\angle AC'C=\angle AB'B=90^{\circ}.
Биссектриса CC'
треугольника ABC
является высотой, следовательно, этот треугольник равнобедренный, AC=BC
.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2013, задача 8, 10 класс