17715. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, R_{A}
, R_{B}
и R_{C}
— радиусы описанных окружностей треугольников BIC
, CIA
и AIB
соответственно, а R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. Докажите, что
R_{A}+R_{B}+R_{C}\leqslant3R.
Решение. Пусть углы, противолежащие сторонам BC=a
, CA=b
и AB=c
, равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. По теореме синусов из треугольников ABC
и IBC
получаем
\frac{a}{\sin\alpha}=2R~\mbox{и}~\frac{a}{\sin\left(180^{\circ}-\frac{\beta}{2}-\frac{\gamma}{2}\right)}=\frac{a}{\sin\left(\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}\right)}=2R_{A},
поэтому
\frac{R_{A}}{R}=\frac{\sin\alpha}{\sin\left(90^{\alpha}-\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{\sin\alpha}{\cos\frac{\alpha}{2}}=2\sin\frac{\alpha}{2}.
Аналогично,
\frac{R_{B}}{R}=2\sin\frac{\beta}{2},~\frac{R_{C}}{R}=2\sin\frac{\gamma}{2}.
Следовательно,
\frac{R_{A}}{R}+\frac{R_{B}}{R}+\frac{R_{C}}{R}\leqslant3~\Leftrightarrow~\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}\leqslant\frac{3}{2}.
Последнее неравенство верно (см. задачу 4157).
Заметим, что равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2013, задача 17, 12 класс