17718. Угол при вершине A
параллелограмма ABCD
равен 60^{\circ}
. Биссектрисы углов при вершинах B
и D
пересекают стороны AD
и BC
в точках E
и F
соответственно, причём BEDF
— ромб. В каком отношении диагональ AC
делит отрезок BE
?
Ответ. 2:1
.
Решение. Поскольку
\angle ABE=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot120^{\circ}=60^{\circ}=\angle BAE,
треугольник ABE
равносторонний, поэтому BE=AE
, а так как BEDF
— то BE=ED
. Значит, AE=ED
, т. е. BE
— медиана треугольника ABD
.
Пусть G
— точка пересечения BE
и AC
, а O
— центр параллелограмма ABCD
. Тогда AO
— тоже медиана треугольника ABD
, а G
— точка пересечения медиан этого треугольника. Следовательно, BG:GE=2:1
.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2014, задача 2, 9 класс