1772. Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден: а) под острым углом; б) под тупым углом.
Ответ. а) Внешность круга, построенного на данном отрезке как на диаметре, без точек прямой, проходящей через данные точки.
б) Внутренность круга, построенного на данном отрезке как на диаметре, без точек данного отрезка.
Указание. Воспользуйтесь замечательным свойством окружности и теоремой о внешнем угле треугольника.
Решение. Первый способ. Докажем сначала, что для точки M
, лежащей вне круга с диаметром AB
, но не лежащей на прямой AB
, угол AMB
— острый. Пусть O
— середина AB
. Тогда расстояние от точки M
до центра окружности больше радиуса, т. е. OM\gt OA
. Обозначим
\angle MAB=\alpha,~\angle MBA=\beta,~\angle AMB=\gamma,~\angle OMA=\alpha',~\angle OMB=\beta'.
В треугольнике AOM
угол OAM
, лежащий против стороны OM
, больше угла OMA
, лежащего против стороны OA\lt OM
, а так как в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, то \angle OMA\lt\angle OAM
, т. е. \alpha'\lt\alpha
. Аналогично докажем, что \beta'\lt\beta
. Тогда
\gamma=180^{\circ}-\alpha-\beta\lt180^{\circ}-\alpha'-\beta'=180^{\circ}-\gamma.
Следовательно, \gamma\lt90^{\circ}
.
Теперь докажем, что для точки M
, лежащей внутри этого круга, но не лежащей на прямой AB
, угол AMB
— тупой.
Действительно, если точка M
лежит внутри круга, то OM\lt OA
, поэтому \alpha'\gt\alpha
и \beta'\gt\beta
, значит,
\alpha+\beta\lt\alpha'+\beta'=\gamma,~\gamma=180^{\circ}-(\alpha+\beta)\gt180^{\circ}-(\alpha'+\beta')=180^{\circ}-\gamma.
Следовательно, \gamma\gt90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Пусть теперь отрезок AB
виден из точки M
под острым углом, т. е. \gamma\lt90^{\circ}
. Предположим, что точка M
при этом лежит либо на окружности, либо внутри круга. Тогда по доказанному либо \gamma=90^{\circ}
, либо \gamma\gt90^{\circ}
, что противоречит предположению.
Аналогично докажем, что если для точки M
угол AMB
— тупой, то точка M
лежит внутри круга.
Второй способ. Пусть точка M
лежит вне окружности с диаметром AB
, но не лежит на прямой AB
. Хотя бы одна из прямых AM
и BM
пересекает окружность в двух точках, так как в противном случае обе они были бы перпендикулярными к диаметру AB
и не могли бы пересекаться. Предположим, что прямая BM
пересекает окружность в точке C
, отличной от B
. Тогда угол AMB
острый, как угол прямоугольного треугольника AMC
с прямым углом при вершине C
.
Пусть точка M
лежит внутри окружности с диаметром AB
, но не лежит на отрезке AB
. Тогда прямая BM
пересекает окружность в некоторой точке C
, отличной от A
и B
. Тогда угол AMB
— внешний угол прямоугольного треугольника ACM
с прямым углом при вершине C
. Значит,
\angle AMB\gt\angle ACM=90^{\circ}.
Пусть теперь угол AMB
острый. Докажем, что точка M
лежит вне окружности с диаметром AB
. Предположим, что это не так. Тогда точка M
лежит либо на окружности, либо внутри неё. В первом случае \angle AMB=90^{\circ}
, во втором — \angle AMB\gt90^{\circ}
. Что противоречит условию.
Аналогично докажем, что если угол AMB
тупой, то точка M
лежит внутри окружности с диаметром AB
.
