17720. Точка H
— ортоцентр остроугольного треугольника ABC
, точки P
и K
— середины отрезков BC
и AH
соответственно. Биссектриса угла BAC
пересекает прямую PK
в точке D
. Докажите, что HD\perp AD
.
Решение. Пусть B'
и C'
— основания высот треугольника ABC
, проведённых из точек B
и C
соответственно. Из точек B'
и C'
отрезок AH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AH
. Аналогично, точки B'
и C'
лежат на окружности с диаметром BC
. Линия центров KP
этих окружностей перпендикулярна их общей хорде и делит её пополам. Кроме того, прямая KP
делит пополам каждую из меньших дуг B'C'
этих окружностей. В то же время, биссектриса вписанного в первую окружность угла B'AC'
проходит через середину меньшей дуги B'C'
этой окружности. Значит, точка D
пересечения KP
и этой биссектрисы — середина меньшей дуги B'C'
окружности с диаметром AH
. Таким образом, точка D
лежит на окружности с диаметром AH
. Следовательно, \angle ADH=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2014, задача 9