17724. Около остроугольного треугольника ABC
описана окружность с центром O
. Прямая AC
вторично пересекает описанную окружность треугольника AOB
в точке X
. Докажите, что прямые XO
и BC
перпендикулярны.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (точка X
лежит на стороне AC
, а не на её продолжении).
Поскольку четырёхугольник ABOX
вписанный,
\angle CXO=180^{\circ}-\angle AXO=\angle ABO.
Пусть прямые OX
и BC
пересекаются в точке Y
, а Z
— точка, диаметрально противоположная точке A
. Тогда
\angle CXY=\angle ABO=\angle BAO=\angle BAZ~\mbox{и}~\angle YCX=\angle BCA=\angle BZA.
Значит, треугольники CXY
и ZAB
подобны по двум углам. Следовательно,
\angle CYX=\angle ZBA=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Аналогично для случая, когда точка X
лежит на продолжении стороны AC
за точку A
.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2015, задача 15, 10-12 классы