17725. Угол при вершине A
неравностороннего треугольника ABC
равен 60^{\circ}
, AD
— биссектриса треугольника, а BQ
и CR
— его высоты. Докажите, что прямые AD
, BQ
и CR
пересекаются в вершинах равностороннего треугольника.
Решение. Если прямая AD
проходит через точку пересечения прямых BQ
и CR
, то AD
— высота треугольника ABC
. Тогда треугольник BAC
равнобедренный, а так как один из его углов равен 60^{\circ}
, то треугольник равносторонний, что противоречит условию задачи. Следовательно, прямые AD
, BQ
и CR
пересекаются в трёх различных точках.
Из условия следует, что
\angle QAD=\angle RAD=39^{\circ}~\mbox{и}~\angle AQB=\angle ARC=90^{\circ},
поэтому прямые AD
и BQ
, как и прямые AD
и CR
, пересекаются под углом 60^{\circ}
. Значит, и прямые CR
и BQ
пересекаются под углом 60^{\circ}
. Следовательно, точки попарного пересечения прямых AD
, BQ
и CR
— вершины равностороннего треугольника. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2015, задача 1, 9 класс