17726. Около остроугольного треугольника ABC
описана окружность с центром O
. Около треугольников AOB
и AOC
описаны окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
соответственно. В них проведены диаметры OP
и OQ
соответственно. Касательные к окружностям \omega_{1}
и \omega_{2}
, проведённые в точках P
и Q
соответственно, пересекаются в точке T
. Прямая AC
вторично пересекает окружность \omega_{1}
в точке D
. Докажите, что точки D
, O
и T
лежат на одной прямой.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Поскольку
\angle OAP=\angle OAQ=90^{\circ},
точки P
, A
и Q
лежат на одной прямой. Поскольку
\angle OPT=\angle OQT=90^{\circ},
четырёхугольник OPTQ
вписанный. Значит, \angle TOQ=\angle QPT
.
В то же время, поскольку OA=OC
и OQ
— диаметр окружности \omega_{2}
, то OQ\perp AC
. Тогда
\angle DOQ=90^{\circ}-\angle ADO=90^{\circ}-\angle APO=\angle QPT=\angle TOQ.
Следовательно, точки D
, O
и T
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Аналогично для любого другого случая.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2015, задача 5