17728. На окружности с центром O
отмечены точки A
и B
, причём треугольник AOB
прямоугольный. Серединный перпендикуляр к отрезку OA
пересекает меньшую дугу AB
в точке K
. Прямые KO
и AB
пересекаются в точке L
. Докажите, что треугольник KBL
равнобедренный.
Решение. Точка K
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AO
, поэтому она равноудалена от его концов. Значит,
KA=OK=OA
Треугольник AOB
равносторонний, поэтому
\angle AOK=60^{\circ}~\Rightarrow~\angle BOK=\angle AOB-\angle AOK=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.
Треугольник BOK
равнобедренный, OB=OK
, поэтому
\angle BKO=\angle KBO=\frac{1}{2}(180^{\circ}-30^{\circ})=75^{\circ}.
Вписанный угол ABK
равен половине соответствующего ему центрального угла AOK
, т. е.
\angle LBK=\angle ABK=\frac{1}{2}\angle AOK=30^{\circ}.
Значит,
\angle LBK=\angle ABK=180^{\circ}-(75^{\circ}+45^{\circ})=30^{\circ}=\angle BKL.
Следовательно, BK=BL
, т. е. треугольник KBL
равнобедренный. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2016, задача 8, до 10 класса