17729. На сторонах BC
, CA
и AB
треугольника ABC
отмечены точки D
, E
и F
соответственно. Докажите, что
\frac{1}{2}(BC+CA+AB)\lt AD+BE+CF\lt\frac{3}{2}(BC+CA+AB).
По неравенству треугольника
AB\leqslant BD+AD~\mbox{и}~AB\leqslant AE+BE,
причём равенство не может достигаться во всех неравенствах одновременно. Аналогично,
CA\leqslant CD+AD~\mbox{и}~CD\leqslant AF+FC.
BC\leqslant BF+CF~\mbox{и}~BC\leqslant CE+BE.
Сложив шесть этих неравенств, получим
2(BC+CA+AB)\lt BC+CA+AB+2(AD+BE+CF),
откуда
\frac{1}{2}(BC+CA+AB)\lt AD+BE+CF.
Снова по неравенству треугольника
AD\leqslant AB+BD~\mbox{и}~AD\leqslant AC+CD,
BE\leqslant BA+AE~\mbox{и}~BE\leqslant BC+CE,
CF\leqslant CB+BF~\mbox{и}~CF\leqslant CA+AF,
причём равенство не может достигаться во всех неравенствах одновременно. Сложив шесть этих неравенств, получим
2(AD+BE+CF)\lt2(BC+CA+AB)+BC+CA+AB,
откуда
AD+BE+CF\lt\frac{3}{2}(BC+CA+AB).
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2016, задача 12, 10-12 классы