17731. В равнобедренном треугольнике с основанием AB
проведена биссектриса AD
. Разность двух каких-то углов треугольника ABD
равна 40^{\circ}
. Каким может быть угол ACB
? Найдите все возможности.
Ответ. 68^{\circ}
, 40^{\circ}
, 20^{\circ}
, 4^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\angle ABC=\alpha
. Тогда
\angle BAD=\frac{\alpha}{2},~\angle DBA=\alpha,~\angle ADB=180^{\circ}-\alpha-\frac{\alpha}{2}=180^{\circ}-\frac{3\alpha}{2}.
Рассмотрим все возможные случаи, в которых разность каких-то двух из этих углов равна 40^{\circ}
.
1.
\alpha-\frac{\alpha}{2}=40^{\circ}~\Rightarrow~\alpha=80^{\circ}~\Rightarrow~\angle ACB=180^{\circ}-2\alpha=180^{\circ}-160^{\circ}=20^{\circ}.
2. \frac{\alpha}{2}-\alpha
. Этот случай невозможен.
3.
\left(180^{\circ}-\frac{3\alpha}{2}\right)-\frac{\alpha}{2}=40^{\circ}~\Rightarrow~180^{\circ}-2\alpha=40^{\circ}~\Rightarrow~\alpha=70^{\circ}~\Rightarrow~\angle ACB=180^{\circ}-2\alpha=40^{\circ}.
4.
\frac{\alpha}{2}-\left(180^{\circ}-\frac{3\alpha}{2}\right)=40^{\circ}~\Rightarrow~\alpha=110^{\circ}.
Этот случай тоже невозможен, так как угол при основании равнобедренного треугольника не может быть тупым.
5.
\left(180^{\circ}-\frac{3\alpha}{2}\right)-\alpha=40^{\circ}~\Rightarrow~\alpha=56^{\circ}~\Rightarrow~\angle ACB=68^{\circ}.
6.
\alpha-\left(180^{\circ}-\frac{3\alpha}{2}\right)=40^{\circ}~\Rightarrow~\alpha=88^{\circ}~\Rightarrow~\angle ACB=4^{\circ}.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2016, задача 4, 9 класс