17733. Дан треугольник ABC
в котором AB=\frac{1}{2}AC+BC
. Вне треугольник на сторонах AB
и BC
как на диаметрах построены полуокружности. Точка X
— проекция точки A
на общую касательную к полуокружностям. Найдите \angle CAX
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть K
и L
— центры полуокружностей с диаметрами AB
и AC
соответственно, а M
и N
— проекции точек соответственно K
и L
на общую касательную полуокружностей. Поскольку KL
— средняя линия треугольника ABC
, а M
и N
— точки касания, то KL\parallel AC
и KM\parallel AX
. Значит, \angle CAX=\angle LKM
. Кроме того,
KM=\frac{1}{2}AB,~LN=\frac{1}{2}BC,
так как KM
и LN
— радиусы полуокружностей.
Пусть Y
— точка пересечения прямых KL
и MN
. Прямоугольные треугольники KYM
и LYN
подобны, поэтому
\frac{KY}{LY}=\frac{KM}{LN}~\Rightarrow~\frac{KL+LY}{LY}=\frac{\frac{1}{2}AB}{\frac{1}{2}BC}=\frac{AB}{BC}~\Rightarrow~LY=KL\cdot\frac{BC}{AB-BC}=\frac{AC}{2}\cdot\frac{NC}{\frac{1}{2}AC}=BC.
Значит,
\sin\angle NYL=\frac{LN}{LY}=\frac{\frac{1}{2}BC}{BC}=\frac{1}{2}~\Rightarrow~\angle NYL=30^{\circ}.
Следовательно,
\angle CAX=\angle LKM=\angle YKM=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2016, задача 16, 12 класс