17734. Точки D
, E
и F
— середины сторон соответственно BC
, CA
и AB
треугольника ABC
. Точки X
, Y
и Z
симметричны точке M
пересечения медиан треугольника ABC
относительно точек D
, E
и F
соответственно. Докажите, что AL=BK
.
Решение. Поскольку MY=2ME=MB
и MZ=2MF=MC
, точка M
— общая середина отрезков BY
и CZ
. Значит, четырёхугольник BZYC
— параллелограмм, поэтому прямые ZY
и BC
параллельны.
Пусть прямые AD
и YZ
пересекаются в точке G
. Тогда из равенства MY=MB
следует, что
MG=MD=\frac{1}{3}AD~\Rightarrow~AG=AD-MD-MG=AD-\frac{2}{3}AD=\frac{1}{3}AD.
Значит,
\frac{AL}{AB}=\frac{AG}{AD}=\frac{1}{3}~\Rightarrow~AL=\frac{1}{3}AB.
Аналогично докажем, что BK=\frac{1}{3}AB
. Следовательно, AL=BK
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Эту задачу можно решить, применив гомотетию с центром в точке M
и коэффициентом (-1).
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2017, задача 13, до 10 класса