17735. Точки P
и Q
лежат на стороне BC
треугольника ABC
, причём P
лежит между B
и Q
, а лучи AP
и AQ
разбивают угол BAC
на три равных угла. Прямая, проходящая через точку P
параллельно AQ
, пересекает сторону AB
в точке D
, а прямая, проходящая через точку Q
параллельно AP
, пересекает сторону AC
в точке E
. Может ли DE
быть средней линией треугольника ABC
?
Ответ. Нет.
Решение. Предположим, DE
— средняя линия треугольника ABC
. Поскольку DP\parallel AQ
, отрезок DP
— средняя линия треугольника ABQ
(по теореме Фалеса). Значит, точка P
— середина отрезка BP
, а AP
— медиана треугольника ABQ
. При этом из условия следует, что AP
— биссектриса треугольника ABQ
. Тогда треугольник ABQ
равнобедренный с основанием BQ
, а AP
— его высота. Аналогично получим, что AQ
— высота треугольника ACP
. Поскольку через точку можно провести единственную прямую перпендикулярную данной, получили противоречие. Следовательно, DE
не может быть средней линией треугольника ABC
.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2017, задача 2, 9 класс