17736. На стороне AB
правильного пятиугольника ABCDE
как на диаметре построена окружность \Gamma
. Диагонали AC
и AD
пересекают её в точках F
и G
соответственно. Прямая FG
пересекает сторону AE
в точке H
, а K
— середина стороны D
. Докажите, что точки F
, H
, E
и K
лежат на одной окружности.
Решение. Поскольку AB
— диаметр окружности \Gamma
, а точка F
лежит на этой окружности, то \angle AFB=90^{\circ}
. Из симметрии точка K
лежит на прямой BF
и BK\perp DE
.
Пусть \Omega
— описанная окружность правильного пятиугольника ABCDE
. Вписанный в окружность \Omega
углы BAC
и DAE
опираются на равные хорды, поэтому
\angle GAH=\angle DAE=\angle BAC\angle BAF.
Поскольку четырёхугольник ABFG
вписанный,
\angle AGH=180^{\circ}-\angle AGF=\angle ABF.
Значит, треугольник AGH
подобен треугольнику ABF
по двум углам. Тогда
\angle AHG=\angle AFB=90^{\circ}.
Из точек K
и H
отрезок EF
виден под прямым углом, следовательно, эти точки лежат на окружности с диаметром EF
. Отсюда вытекает утверждение задачи.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2017, задача 4, 9 класс