17737. Окружность с диаметром AB
пересекает сторону BC
ромба ABCD
в точке K
. Окружность с диаметром AD
пересекает сторону CD
в точке L
. Найдите углы ромба, если \angle AKL=\angle ABC
.
Ответ. 60^{\circ}
, 120^{\circ}
.
Решение. Заметим, что по условию точка K
лежит на отрезке AB
, а не на его продолжении, поэтому угол ABK
острый. Обозначим \angle ABC=\angle ADC=\alpha
. Тогда \angle AKL=\alpha
.
Точка K
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому
\angle ALD=\angle AKB=90^{\circ},
а так как \angle ABK=\alpha=\angle ADL
, то прямоугольные треугольники ABK
и ADL
равны по гипотенузе и острому углу. Значит, AK=AL
, поэтому \angle ALK=\angle AKL=\alpha
.
Сумма углов четырёхугольника равна 360^{\circ}
, поэтому
\angle KAL=360^{\circ}-\angle KCL-\angle AKC-\angle ALC=360^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha)-2\cdot90^{\circ}=\alpha.
Значит, треугольник AKL
равносторонний. Следовательно, \alpha=60^{\circ}
и углы ромба равны 60^{\circ}
, 60^{\circ}
, 120^{\circ}
и 120^{\circ}
.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2017, задача 6, 10 класс