17741. Дан четырёхугольник ABCD
. Точка E
лежит на прямой AB
, причём DB=BE
и AD\perp DE
. Докажите, что серединные перпендикуляры к отрезкам AD
, DC
и CE
пересекаются в одной точке.
Решение. Отметим середину M
отрезка DE
. По условию треугольник DBE
равнобедренный, поэтому его медиана BM
является высотой. Прямые BM
и AD
перпендикулярны одной и той же прямой DE
, поэтому BM\parallel AD
. Тогда по теореме Фалеса B
— середина отрезка AE
, т. е. AB=BE
.
Таким образом, точка B
равноудалена от точек A
, D
, C
и E
. Следовательно, B
— точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам AD
, DC
и CE
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2018, задача 3, 9 класс