17744. Окружность \omega_{2}
касается окружности \omega_{1}
в точке A
и проходит через её центр O
. Точка C
лежит на окружности \omega_{2}
, причём луч AC
пересекает окружность \omega_{1}
в точке E
и DE\parallel AO
. Найдите \angle DAE
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle DAE=\alpha
. Центральный угол DOE
окружности \omega_{1}
вдвое больше вписанного угла DOE
, т. е. \angle DOE=2\alpha
. Из равнобедренного треугольника DOE
получаем
\angle OED=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\alpha)=90^{\circ}-\alpha.
а так как прямые DE
и AO
параллельны, то
\angle AOE=\angle OED=90^{\circ}-\alpha.
Общая касательная касающихся окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
перпендикулярна радиусу OA
окружности \omega_{1}
, причём точка O
лежит на окружности \omega_{2}
. Значит, AO
— диаметр окружности \omega_{2}
, поэтому \angle OCA=90^{\circ}
.
Высота OC
равнобедренного треугольника AOD
является его биссектрисой, поэтому
\angle AOE=\angle DOE=2\alpha.
Из равенства 90^{\circ}-\alpha=2\alpha
находим, что
\angle DAE=\alpha=30^{\circ}.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2019, задача 11, до 10 класса