17745. а) Дан выпуклый четырёхугольник ABC
, в котором AD\lt AB
и CD\lt BC
. Верно ли, что внутренний угол при вершине B
меньше внутреннего угла при вершине D
б) Тот же вопрос для невыпуклого четырёхугольника.
Ответ. а) Да; б) нет.
Решение. а) Рассмотрим треугольники ADB
и CDB
(рис. 1), в которых AD\lt AB
и CD\lt BC
, а точки B
и D
лежат по разные стороны от прямой AC
. Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол, поэтому
\angle ABD\lt\angle ADB~\mbox{и}~\angle CBD\lt\angle CDB.
Четырёхугольник ABCD
выпуклый, поэтому луч BD
проходит между сторонами угла ABC
, а луч DB
— между сторонами угла ADC
. Значит,
\angle ABC=\angle ABD+\angle CBD\lt\angle ADB+\angle CDB=\angle ADC.
Следовательно, \angle ABC\lt\angle ADC
.
б) Пусть A
, B
и C
— точки, для которых AB=BC\gt AC
(рис. 2). На касательной к описанной окружности треугольника ABC
отметим точку D'
, лежащую с точкой B
по одну сторону от прямой AC
и для которой верны неравенства AD'\lt AB
и CD'\lt CB
(последнее неравенство возможно, так как AC\lt BC
).
Пусть D
— точка, симметричная точке D
относительно прямой AC
. Тогда оба неравенства AD\lt AB
и CD\lt CB
выполняются, а неравенство \angle ABC\gt\angle AD'C
неверно, так как точка D'
лежит вне описанной окружности треугольника ABC
, поэтому \angle ABC\gt\angle AD'C=\angle ADC
. Следовательно, для невыпуклого четырёхугольника ABCD
утверждение неверно.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2019, задача 7, 10 класс