17747. Диагонали описанного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
. Известно, что AB
— наибольшая сторона четырёхугольника. Докажите, что угол APB
тупой.
Решение. Пусть a
, b
, c
и d
— отрезки касательных к вписанной окружности данного четырёхугольника, примыкающих к вершинам A
, B
, C
и D
соответственно, а угол ABP
равен \alpha
. По условию
a+b\gt b+c~\mbox{и}~a+b\gt a+d~\Rightarrow~a\gt c~\mbox{и}~b\gt d.
По теореме косинусов
(a+b)^{2}=PA^{2}+PB^{2}-2PA\cdot PB\cos\alpha,
(b+c)^{2}=PB^{2}+PC^{2}+2PB\cdot PC\cos\alpha,
(c+d)^{2}=PC^{2}+PD^{2}-2PC\cdot PD\cos\alpha,
(d+a)^{2}=PD^{2}+PA^{2}+2PD\cdot PA\cos\alpha.
Сложим первое и третье равенства и вычтем из полученной суммы второе и четвёртое. Получим
2(ab+cd-bc-da)=-2(PA\cdot PB+PB\cdot PC+PC\cdot PD+PD\cdot PA)\cos\alpha,
или
(a-c)(b-d)=-(PA\cdot PB+PB\cdot PC+PC\cdot PD+PD\cdot PA)\cos\alpha,
а так как a\gt c~\mbox{и}~b\gt d
, то \cos\alpha\lt0
. Следовательно, \alpha\gt90^{\circ}
, т. е. угол APB
тупой. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2019, задача 17, 12 класс