17748. Биссектриса угла при вершине A
треугольника ABC
пересекает описанную окружность треугольника в точке F
. Точки D
и E
лежат на сторонах AB
и AC
соответственно, причём DE
и BC
параллельны, а G
и F
— точки пересечения лучей FD
и FE
с описанной окружностью треугольника ABC
. Описанные окружности треугольников AGD
и AHE
вторично пересекаются в точке P
. Докажите, что точка P
лежит на прямой AF
.
Решение. Точка F
— середина дуги BFC
описанной окружности треугольника ABC
, вписанные углы CGF
, CAF
и BAF
равны, AKC
— внешний угол треугольника ABK
, а DL
и BK
параллельны, то
\angle AGD=\angle AGF=\angle AGC+\angle CGF=\angle ABC+\angle CAF=
=\angle ABK+\angle KAB=\angle CKA=\angle KLD=180^{\circ}-\angle ALD.
Значит, четырёхугольник AGDL
вписанный. Аналогично, четырёхугольник AHEL
тоже вписанный. Следовательно, точка L
, лежащая на прямой AF
, — общая точка описанных окружностей треугольников AGD
и AHE
, отличная от A
. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2020, задача 4, до 10 класса