17753. Диагонали AC
и BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
. Известно, что периметры треугольников ABO
, BCO
, CDO
и ADO
равны. Докажите что ABCD
— ромб.
Решение. Предположим AO\leqslant OC
и BO\leqslant OD
. Отметим на отрезках OC
и OD
точки M
и N
соответственно, для которых AO=ON
и BO=OM
. Тогда ABMN
— параллелограмм, поэтому периметры треугольников ABO
и MNO
равны. Тогда равны периметры треугольников CDO
и MNO
, а это возможно только в случае, когда точки M
и N
совпадают с точками D
и C
соответственно. Значит, ABCD
— параллелограмм.
В параллелограмме ABCD
равны периметры треугольников ABO
и BCO
, поэтому AB=BC
. Следовательно, ABCD
— ромб. Что и требовалось доказать.
Источник: Новозеландские математические олимпиады. — 2015, задача 6, младшие классы