17756. Шестиметровую лестницу прислонили к вертикальной стене. Оказалось, что середина лестницы вдвое дальше от пола, чем от стены. На какую высоту можно подняться по этой лестнице.
Ответ. \frac{12}{\sqrt{5}}
.
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC
с гипотенузой AB=6
. Расстояние от середины M
гипотенузы до прямой BC
вдвое больше расстояния от M
до прямой AC
.
Обозначим через x
расстояние от точки M
до прямой AC
через x
. Тогда расстояние от M
до прямой BC=2x
, а искомый катет AC
равен 4x
. По теореме о средней линии треугольника катет BC
равен x
. По теореме Пифагора
AC^{2}+BC^{2}=AB^{2},~\mbox{или}~(4x)^{2}+(2x)^{2}=36,
откуда x=\frac{3}{\sqrt{5}}
. Следовательно,
AC=4x=\frac{12}{\sqrt{5}}.
Источник: Новозеландские математические олимпиады. — 2017, задача 1, младшие классы